Статья объясняет, что такое система уравнений с двумя переменными и как ее можно решить. Представлены основные методы решения, иллюстрированные примерами.
Решение системы уравнений с двумя переменными: что это такое и как это делается?
Система уравнений с двумя переменными — это набор из двух уравнений, содержащих две неизвестные переменные. Решение такой системы — это нахождение значений переменных, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Решив систему уравнений, мы сможем определить точку на координатной плоскости, которая является решением данной системы.
Существует несколько методов для решения систем уравнений с двумя переменными. Рассмотрим некоторые из них.
1. Метод подстановки. Этот метод заключается в том, чтобы выразить одну из переменных из одного уравнения, а затем подставить это выражение в другое уравнение. После этого у нас останется одно уравнение с одной неизвестной переменной, которое можно решить и получить значение этой переменной. Затем мы можем определить значение другой переменной, используя полученное значение первой переменной.
Пример: решить систему уравнений
y = 2x + 1
y — x = 3
Для решения этой системы уравнений мы можем выразить переменную y из первого уравнения:
y = 2x + 1
Затем мы подставляем это выражение во второе уравнение:
(2x + 1) — x = 3
Решаем это уравнение:
x + 1 = 3
x = 2
Теперь мы можем найти значение переменной y, используя первое уравнение:
y = 2x + 1
y = 2(2) + 1
y = 5
Таким образом, решение системы уравнений будет (2,5).
2. Метод сложения. Этот метод заключается в том, чтобы сложить два уравнения системы, удалив одну из переменных. Например, мы можем умножить одно из уравнений на число, чтобы сделать коэффициент при одной из переменных одинаковым в обоих уравнениях. Затем мы вычитаем одно уравнение из другого и находим значение одной переменной. Затем мы находим значение другой переменной, подставив найденное значение первой переменной в любое из уравнений.
Пример: решить систему уравнений
2x + y = 5
x — y = 1
Чтобы применить метод сложения, мы умножаем второе уравнение на 2:
2x — 2y = 2
Затем мы складываем это уравнение с первым уравнением:
2x + y = 5
2x — 2y = 2
—————
4x — y = 7
Теперь мы можем решить это уравнение:
4x — y = 7
y = 4x — 7
Мы нашли значение переменной y через переменную x. Мы можем подставить это выражение для y в первое уравнение и решить его для переменной x:
2x + y = 5
2x + (4x — 7) = 5
6x = 12
x = 2
Теперь, чтобы найти значение y, мы можем подставить найденное значение x в любое из двух уравнений и решить его для y:
x — y = 1
2 — y = 1
y = 1
Таким образом, решение системы уравнений будет (2,1).
Это только два примера методов решения систем уравнений с двумя переменными. Существует множество других методов, таких как метод Гаусса и метод Крамера, которые позволяют решать системы уравнений более сложной структуры. Однако, если вы понимаете два простых метода, описанных выше, то вы сможете решать множество типов систем уравнений.